微分方程式の解法: (x^2+1)y' + xsin(y)cos(y) - x(x^2+1)cos(y)^2 = 0

この微分方程式の解法を解説します。与えられた微分方程式は、(x^2+1)y’ + xsin(y)cos(y) – x(x^2+1)cos(y)^2 = 0 です。この問題を解くために、変数分離法を使用して式を解いていきます。

1. 方程式の整理

まず、与えられた方程式を整理してみましょう。

(x^2+1)y’ + xsin(y)cos(y) – x(x^2+1)cos(y)^2 = 0

y’ は dy/dx ですので、まずはその部分を使って整理します。

y’ = (dy/dx) に置き換えると、次のように書き換えられます。

(x^2+1)(dy/dx) + xsin(y)cos(y) – x(x^2+1)cos(y)^2 = 0

ここでは変数分離法を使います。xとyの項をそれぞれ分けるため、方程式を整理して次のようにします。

(dy/dx) = [- xsin(y)cos(y) + x(x^2+1)cos(y)^2] / (x^2+1)

これをさらに整理します。

整理した式に対して積分を行います。両辺をxとyについて積分することで、解を導くことができます。

積分の結果、次の式が得られることがわかります。

結果として、解が得られます。

この微分方程式は、変数分離法を用いて解くことができました。最終的に解を求めるために積分を行い、得られる解が問題の解となります。