sinθが分かっていてcosθとtanθを求める方法とその符号について

三角関数でsinθが与えられているときに、cosθやtanθを求める問題について、符号が±になるかどうかが気になることがあると思います。この記事では、その理由と求め方について解説します。

1. 三角関数の基本と符号

三角関数は、単位円を基にした関数であり、角度によってsin, cos, tanの値が決まります。sinθが与えられているとき、cosθやtanθの符号は、θがどの象限にあるかによって決まります。例えば、第一象限ではcosθもtanθも正、第二象限ではcosθは負でtanθは正、という具合です。

sinθが与えられた場合、cosθを求めるには次の公式を使用します。

sin²θ + cos²θ = 1

これを使って、cosθを求めることができます。具体的には、cosθ = ±√(1 – sin²θ) という形になります。この±は、θがどの象限にあるかに依存します。

tanθは、次の関係式を使用して求めることができます。

tanθ = sinθ / cosθ

したがって、sinθとcosθを知っていれば、tanθを計算することができます。tanθの符号も、角度がどの象限にあるかによって決まります。

sinθ, cosθ, tanθの符号が±になる理由は、三角関数が単位円上で定義されており、各象限での符号が異なるからです。例えば、角度が第一象限にある場合、sinθ, cosθ, tanθはすべて正になりますが、第二象限ではcosθが負になります。これにより、±がつくかどうかが決まります。

sinθが与えられた場合にcosθやtanθを求める際、符号はθが属する象限に依存します。したがって、求める三角関数の値が±になるかどうかは、単に計算だけでなく、角度がどの象限にあるかを意識することが重要です。