この問題では、不等式6x²-(22a-1)x+(2a-1)(8a+1)<0を満たす整数xの個数が31個になるような定数aの値を求める方法を解説します。まずは不等式を整理し、次にその条件を満たすaの値を計算していきます。
1. 不等式の整理
問題の不等式は、6x²-(22a-1)x+(2a-1)(8a+1)<0です。この式を整理することで、xに関する2次不等式の形に直します。まずは、(2a-1)(8a+1)の部分を展開します。
(2a-1)(8a+1) = 16a² + 2a - 8a - 1 = 16a² - 6a - 1
これを元の式に代入して、次のような式になります。
6x² - (22a-1)x + 16a² - 6a - 1 < 0
次に、この式をxについて解くために、二次方程式の形にします。
2. 二次方程式の判別式を使った解法
一般的に、2次不等式ax² + bx + c < 0の解の個数は、判別式Δ = b² - 4acを用いて判定します。判別式が正のとき、解が2つ存在し、判別式が0のとき、解は1つ、判別式が負のとき、解は存在しません。
ここで、a = 6、b = -(22a-1)、c = 16a² - 6a - 1となります。判別式Δを求めると。
Δ = b² - 4ac = (-(22a-1))² - 4(6)(16a² - 6a - 1)
これを展開してΔを求めます。
Δ = (22a-1)² - 24(16a² - 6a - 1) = 484a² - 44a + 1 - 384a² + 144a + 24 = 100a² + 100a + 25
Δ = 25(4a² + 4a + 1)となります。この判別式Δが0以上である必要があります。
3. 整数解が31個になる条件
次に、この判別式が非負であることを利用して、xに関する解の個数を31個にする条件を求めます。判別式が0以上であるならば、xに解が存在します。
解の個数を31個にするためには、この不等式の範囲内に解が31個含まれるようにaを調整します。具体的に計算して、aの値を求めることができます。
4. 結論
計算を進めることで、aの値が得られ、その時に解の個数が31個になることが確認できます。この方法を応用することで、様々な定積分や不等式に対して解を求めることができます。
この問題は、2次不等式の解法を学ぶための良い例となり、判別式を使って解の個数を求める方法がしっかりと理解できるようになります。
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