座標平面上の四角形APOQの面積をaとbを用いて求める方法

この問題では、座標平面上の単位円と、その外部にある点A(a, b)から、単位円に2本の接線を引く問題です。それぞれの接線と単位円の接点を点P、点Qとし、四角形APOQの面積を求めます。以下の手順で解法を説明します。

1. 単位円の方程式と点A

単位円の方程式は、x² + y² = 1 です。点Aは座標(a, b)に位置しており、a, bは実数の定数です。接線の方程式は、点Aと単位円の接点との関係を用いて求めることができます。

接線の方程式は、点Aから単位円に接する2本の接線を考え、これらの接点P、Qを求めます。接線の方程式は、点Aから単位円の接点PまたはQまでの距離が同じであることを利用して、接線の傾きを計算します。これにより、接線の式を求めることができます。

四角形APOQの面積を求めるために、座標平面上の四つの頂点（点A、点P、点O（原点）、点Q）の座標を用いて、面積を求める公式を使います。面積を求める公式は、次のように表せます。

面積 = 1/2 * |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁ – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₁)|

接線の方程式から得られた接点P、Qの座標を代入し、上記の面積公式を用いて、四角形APOQの面積をaとbを用いて表すことができます。

この問題は、単位円における接線の方程式と座標平面上の面積の公式を組み合わせることで解くことができます。接線の式と接点を正確に求めることが鍵となります。