定積分を使って囲まれた図形の面積を求める方法：具体的な例題の解説

定積分を使って曲線で囲まれた図形の面積を求める問題は、微積分の基本的な応用の一つです。ここでは、2つの曲線とy軸、直線x=1で囲まれた図形の面積を求める方法について解説します。具体的な例題として、y=x²+1とy=½x²という2つの関数に関する面積を求めます。

1. 問題の整理

与えられた問題では、2つの関数y=x²+1とy=½x²があり、これらの関数とy軸、直線x=1によって囲まれた部分の面積を求めます。具体的な手順を追って解いていきます。

定積分を使って面積を求める場合、まずそれぞれの関数とx軸で囲まれた領域の面積を求めます。面積を求めるための基本的な考え方は、各曲線の下で囲まれた領域の積分を取ることです。つまり、次のように2つの関数の間の領域を定積分で求めます。

式としては、次のようになります：
面積 = ∫[0,1] (上の関数 – 下の関数) dx

まず、y=x²+1とy=½x²の間で、x=0からx=1までの区間で囲まれる面積を求めます。各関数の値を確認すると、x=1の時点で、それぞれの関数が与える値は次のようになります。

これに基づいて、x=0からx=1までの積分を行います。面積は次のように求められます。

面積 = ∫[0,1] (x²+1 - ½x²) dx = ∫[0,1] (½x² + 1) dx

この積分を計算すると、次のようになります。

∫[0,1] (½x² + 1) dx = [ (½x³/3) + x ] from 0 to 1

計算結果は。

= (½(1/3) + 1) - (½(0/3) + 0) = (1/6 + 1) = 7/6

したがって、この図形の面積は7/6平方単位となります。

定積分を使って囲まれた図形の面積を求める方法は、各関数の積分を求め、上の関数と下の関数の差を取ることです。今回の例では、y=x²+1とy=½x²の間に囲まれた面積は7/6平方単位となります。この手法を応用すれば、他の複雑な図形の面積も求めることができます。