この記事では、高校数学の三角関数の合成に関する問題を解く方法を詳しく解説します。具体的には、式「√3sinθ + cosθ ≦ 1」を使ってθが取る範囲を求める問題について、問題の最初から解答までのプロセスをステップごとに説明します。特に、「2sin(θ + 1/6π) ≦ 1」までの進め方とその後の解法について詳しく学びましょう。
問題の整理
与えられた問題は、「√3sinθ + cosθ ≦ 1」という不等式です。この問題を解くためには、三角関数の合成を行い、より簡単に解ける形に変形する必要があります。まず、次のステップに進む前に、式の合成を行います。
「√3sinθ + cosθ」の合成を行うことで、三角関数の形を統一することができます。ここでは、三角関数の和の公式を使って、次のように変形します。
合成の手順
まず、√3sinθ + cosθ を合成します。これは以下のように表現できます。
√3sinθ + cosθ = 2sin(θ + 1/6π)
このように、元の式を合成することで、2sin(θ + 1/6π) ≦ 1という形に変換できます。
不等式の解法
次に、「2sin(θ + 1/6π) ≦ 1」を解きます。この式を解くためには、両辺を2で割ります。
sin(θ + 1/6π) ≦ 1/2 となります。
解答の導出
sin(θ + 1/6π) ≦ 1/2の不等式を解くために、まずはsin関数が1/2になるθの値を求めます。sin(θ) = 1/2となるのは、θ = π/6およびθ = 5π/6のときです。
したがって、θ + 1/6πがπ/6または5π/6になることが必要です。このため、次の2つの解が得られます。
- θ + 1/6π = π/6 → θ = 0
- θ + 1/6π = 5π/6 → θ = 4π/3
したがって、θが取る範囲は0 ≦ θ ≦ 4π/3の間となります。
まとめ
この問題を解くためには、三角関数の合成を使って式を簡単にし、その後に不等式を解くという流れを踏みました。重要なのは、最初の合成を正確に行い、解法を進めることです。このように、問題を段階的に分けて解くことが、数学の問題解決において非常に重要です。
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