「三角形ABCにおいて、辺の長さと角度を求めよ」という問題に対して、余弦定理を使った解法が有効です。特に、辺の長さや角度が分数や計算しづらい場合に、余弦定理を使ったアプローチで解くことができます。今回は、a=√2、b=2、c=√3-1の三角形における計算を解説し、途中式を使って詳しく説明します。
余弦定理の基本
余弦定理は、三角形の3辺と1つの角度の関係を示す式で、次のように表されます。
c² = a² + b² – 2ab * cos(C)
ここで、a、b、cは三角形ABCの辺の長さで、Cはその間の角度です。この式を使うことで、1つの角度を求めることができます。
余弦定理を使って角度を求める方法
与えられた値に基づいて角度Aを求めるためには、まず余弦定理を使って式を立てます。あなたの問題の場合、辺の長さは次のように設定されています。
- a = √2
- b = 2
- c = √3 – 1
これらの値を余弦定理に代入し、cosAを求めます。
c² = a² + b² – 2ab * cos(C)
式に代入すると、次のようになります。
(√3 – 1)² = (√2)² + 2² – 2 × √2 × 2 × cosA
まずは、各辺の値を計算していきます。
c² = (√3 – 1)(√3 – 1) = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3
a² = (√2)² = 2
b² = 2² = 4
式が次のようになります。
4 – 2√3 = 2 + 4 – 4√2 * cosA
計算と解法
式を整理すると、cosAを求める式は次のようになります。
4 – 2√3 – 6 = – 4√2 * cosA
この式を計算して、cosAを求めると次のようになります。
-2√3 = -4√2 * cosA
cosA = √3 / 2√2
cosAを計算すると、cosAはおおよそ0.612となります。
解答と結果
cosAが0.612のとき、角Aは余弦を使って次のように求めます。
A = cos⁻¹(0.612) ≈ 52°
したがって、三角形ABCの角Aは約52度です。
まとめ
三角形ABCの辺a = √2、b = 2、c = √3 – 1の場合、余弦定理を使って角Aを求める方法を解説しました。計算を進める中で、各辺の長さを代入してcosAを求め、その結果から角度Aを求めることができました。この方法を覚えておくと、三角形の角度や辺の長さを求める問題を効率的に解くことができます。
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