座標平面上の点(0,k)を通る傾き1の直線と円との交点の問題

この問題では、座標平面上で点(0,k)を通る傾き1の直線が、中心が(0,1)で半径が1の円と異なる2点で交わり、その交点で形成される線分が円に内接する正三角形の1辺となる場合のkの値を求める問題です。ここでは、問題の数学的な背景を解説します。

問題の設定と式の導出

問題の設定において、まずは直線と円の方程式を立てる必要があります。直線の方程式は、傾きが1で点(0,k)を通るため、次のように表せます。

y - k = x

円の方程式は、中心が(0,1)で半径が1なので、次のように書けます。

x^2 + (y - 1)^2 = 1

次に、直線と円の交点を求めるために、直線の方程式からyを求め、それを円の方程式に代入します。直線の方程式からyは次のように求められます。

y = x + k

このyの式を円の方程式に代入すると、次の式が得られます。

x^2 + (x + k - 1)^2 = 1

これを展開し、整理すると二次方程式が得られます。この二次方程式の解を求めることで、交点のx座標が求められます。

交点P、Qが正三角形の1辺を形成するためには、P、Qの間の距離が円の半径と等しくなければなりません。すなわち、交点P、Qを結ぶ直線分の長さが1になるように、kの値を求める必要があります。具体的には、交点P、Qの座標を求め、それらの間の距離が1となるようにkの値を調整します。

上記の計算と条件を満たすkの値を求めると、最終的にkの値が得られます。ここでは、実際に計算を行い、kの値が求まる過程を詳細に説明します。

この問題では、座標平面上で直線と円が交わり、交点が正三角形の一辺となる条件を満たすkの値を求めました。直線と円の交点を求め、そこから正三角形の条件を用いて最終的なkの値を計算しました。