微分方程式 yy' = xe^(x/y) (y ≠ 0) の解法とステップバイステップガイド

微分方程式を解くことは、数学における重要なスキルの一つです。特に、複雑な非線形方程式に遭遇すると、その解法を理解するのが難しく感じることもあります。この記事では、微分方程式 yy’ = xe^(x/y) (y ≠ 0) を解く方法について、ステップバイステップで解説します。

問題の理解と式の整理

与えられた微分方程式は、yy’ = xe^(x/y) という形です。この式において、y’ は y の導関数（dy/dx）を表しており、x と y の関数であることがわかります。まず、この式を変数分離法や積分によって解く方法を考えます。

式を整理すると、dy/dx = (xe^(x/y)) / y という形になります。この式を解くためには、積分を行う必要があります。

変数分離法は、微分方程式を解くための基本的な方法の一つです。まず、dy/dx = (xe^(x/y)) / y という式を変形して、x と y の関数をそれぞれ分ける必要があります。

次に、x と y に関する項をそれぞれ集め、積分を行うことで解を求めます。この過程では、適切な変数変換を行うことが重要です。

変数分離法を用いて、積分を行うと次のような式が得られます。

∫ (dy/y) = ∫ (xe^(x/y)) dx

この積分を行うと、y に関する解を得ることができます。積分の結果は定積分として表され、定数Cを含む解が得られます。

最終的に得られる解は、y と x の関係を示す式となります。具体的な計算を行い、定積分の結果を代入することで、問題の解を得ることができます。

微分方程式 yy’ = xe^(x/y) (y ≠ 0) は、変数分離法と積分を駆使することで解くことができます。重要なのは、式を整理し、適切に変数を分けて積分することです。微分方程式を解く際には、計算を慎重に行い、途中で出てくる積分を適切に処理することが求められます。