円周上を動く点の軌跡の面積を求める問題の解説

本記事では、円周上を動く点とその内分点に関する問題を解説します。特に、点Pが円周上を動くときに、点Rの軌跡がどのように描かれるのか、そしてその面積を求める方法について詳しく説明します。問題文を順を追って解説し、解法を見ていきます。

問題の概要

問題では、円の中心O(0,0)、半径1の円周上に点A(1,0)を固定し、点Pが円周上を動きます。そして、点Q₁、Q₂、Q₃が順に内分点として定義され、点Rが点Pから直線OQ₃への垂線の足であるとされています。最終的には、点Pが円周上を1周したときの点Rの軌跡を求め、その面積を計算します。

まず、点Q₁はAPを3:1に内分する点であり、点Q₂はOQ₁を4:1に内分、点Q₃はPQ₂を2:1に内分します。これらの内分点を求めるためには、内分点の座標を計算する公式を使用します。

内分点の座標は、例えば点Q₁については以下のように求めます。
Q₁ = (x1 + 3 * x2) / 4, (y1 + 3 * y2) / 4

次に、点Pが円周上を動くとき、点Rの軌跡を求めます。点Rは、点Pから直線OQ₃への垂線の足です。このため、点Rは直線OQ₃上の点となり、点Pの位置によって変動します。点Rの座標を求めるためには、直線OQ₃と点Pを結ぶ直線の方程式を使って計算します。

最後に、点Rが描く軌跡の面積を求めます。点Pが円周上を1周するため、点Rが描く軌跡は特定の曲線を形成します。この面積を求めるためには、円周上を動く点Pの座標と、点Rの座標の関係を基に積分を行います。

この問題のポイントは、内分点の座標計算と直線の方程式を用いた点Rの座標求め、そして点Pの動きに基づく積分を通じて軌跡の面積を求めることです。問題は一見難しそうに思えますが、順を追って解くことでしっかりと理解することができます。しっかりと公式を使い、計算を丁寧に行うことが解法の鍵となります。