数学IIの定積分と面積計算の基本解説：負の符号の使い方

数学IIの定積分で面積を求める際に、放物線とX軸で囲まれた部分の面積を計算する問題がよく出てきます。特に、関数にマイナス符号を付けなければならない場面で混乱することがあります。このような問題を解くためのポイントと、なぜマイナス符号が必要になるのかを解説します。

定積分で面積を求める方法

定積分を用いて面積を求める際、まずは積分する関数が与えられます。たとえば、今回のように、関数y = -x² – x + 2が与えられた場合、この関数のグラフとX軸で囲まれる部分の面積を求めることになります。

定積分を使った面積の計算では、面積を囲む範囲を積分区間として設定し、その関数を積分します。しかし、関数のグラフがX軸の下に位置する場合には、得られる値が負の値になります。この場合、面積を求めるためには、その負の値にマイナスを付けて計算し直す必要があります。

関数y = -x² – x + 2の場合、この関数はX軸の下にある部分（負の値）を囲むため、定積分をそのまま計算すると負の面積が得られます。数学的には面積は常に正の値として考えるべきですが、積分結果は負になります。したがって、その負の値を正の面積にするためには、負の符号を外す必要があります。

もしマイナスを付けなかった場合、計算結果が負の値として出力され、直感的に「面積」という概念に合わない結果となってしまいます。

例えば、関数y = -x² – x + 2が与えられ、定積分を使ってその面積を求めるとします。まず、この関数とX軸が交わる点を求めます。xの値が交点であるため、この交点を見つけることで積分区間を特定します。

交点を求めるために、y = 0を解くと、xの値が求まります。これを基に積分区間を設定し、その間にある関数を積分します。しかし、この積分の結果が負の値となるため、その結果にマイナスを掛けて正の面積を得ます。

マイナスを付けなくてもよい場合は、関数のグラフが常にX軸より上に位置している場合です。この場合、積分結果はすでに正の値になりますので、追加でマイナス符号を付ける必要はありません。

例えば、y = x² + x + 2のような関数では、グラフは常にX軸より上にあります。したがって、この場合は面積を求めるためにマイナス符号を付ける必要はありません。

定積分で面積を求める際、関数のグラフがX軸の上にあるか下にあるかによって、計算結果が異なります。もし関数がX軸の下に位置する場合、その面積を求めるためには積分結果が負になるため、マイナス符号を付けて計算します。一方、関数がX軸の上に位置する場合、マイナス符号を付ける必要はありません。