数学の問題において、不等式の使い方や式の簡単化はしばしば混乱を招くことがあります。特に、与えられた式を簡単にするために条件に合わせて不等式を整理する際に、どこかで間違えてしまうこともあります。この記事では、x = a² + 9 とし、y = √x – 6a – √x + 6a を簡単にする方法と、問題の解答における不等号の違いをどのように解決するかについて詳しく解説します。
式の簡単化：与えられた式をどう解くか
まず、y = √x – 6a – √x + 6a という式を簡単にします。x が a² + 9 であることが与えられていますので、√x の部分を a を使って表現できます。式を整理すると。
y = (√(a² + 9) – 6a) – (√(a² + 9) + 6a)
となります。この式では、√(a² + 9) が両方に現れているので、これらを整理すると。
y = -12a
となります。よって、y の値は a に依存しており、単純に -12a となることがわかります。
不等式の条件に合わせた正しい範囲の確認
次に、不等号の部分です。あなたの解答では、a の範囲が -3 より小さい、-3 から 3 の間、3 以上のときに分けられていましたが、この範囲設定に間違いがあります。実際には、√x の定義から、x ≥ 0 である必要があります。x = a² + 9 という式では、a² は常に非負なので、a は実数範囲において制限なく変化することがわかります。
したがって、y の式を簡単にする際において、特に範囲に関して気をつけるべき点は、式の不等号の設定を正確に行うことです。具体的には、a の範囲は -∞ < a < ∞ であり、あなたが設定した不等号は一部誤りです。
式を簡単にした結果と不等式の正確な範囲
y = -12a という結果から、この式におけるyの値は a の値に線形に依存しており、a の値によってその符号が決まります。したがって、y の値を求めるために必要な条件は、x = a² + 9 から導かれる制限だけです。y を簡単にする際には、式の形と不等式の範囲を正確に理解して処理することが大切です。
まとめ
与えられた式 y = √x – 6a – √x + 6a は、x = a² + 9 を代入して整理することで、単純に -12a に簡単化できます。また、不等号に関しては、x ≥ 0 という条件から a の範囲を正確に理解し、誤った範囲設定を避けることが重要です。このように、式の簡単化と範囲設定を丁寧に行うことで、数学の問題を正しく解くことができます。
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