複素数平面の問題解法: 不等式、図形、面積の求め方

高校数学でよく出てくる複素数平面の問題に対して、解法を丁寧に解説していきます。特に、与えられた複素数の不等式や図形の性質、面積の求め方に焦点を当て、各問題の解き方をわかりやすく説明します。

1. 複素数平面上の点 C(α^2), D(β^2) と原点 O の3点は一直線上にあることを示せ

まず、複素数 α=2+i と β=-1/2+i を用意します。これらの二乗を計算し、得られた複素数 C と D を複素数平面上にプロットします。C と D を含む直線の方程式を求め、O（原点）との位置関係を調べることで、3点が一直線上にあることを示すことができます。

点 P(z) が直線 AB 上を動くとき、z^2 の実部を x、虚部を y として、点 Q(z^2) の軌跡を求めます。この問題では、複素数 z の座標を使い、直線 AB 上にある点 P(z) の関係から、z^2 の実部と虚部の方程式を導出することができます。

点 P(z) が三角形 OAB の内部にあるとき、点 Q(z^2) が作る図形 K の性質を調べます。この場合、P(z) の位置により Q(z^2) の位置がどのように変化するかを分析することで、複素数平面上に図形を描くことができます。

図形 K の面積を求めるためには、点 Q(z^2) が作る図形の範囲を定義し、その範囲の面積を計算します。この場合、三角形の面積の計算と、Q(z^2) の軌跡に関する知識を活用します。

この問題では、複素数平面における点の位置関係を理解し、直線や図形を描く能力を問われます。また、複素数の二乗を使って新たな座標を導出し、図形の面積を計算する方法を学ぶことができました。これらの知識は、高校数学における複素数の問題解法に欠かせません。