この問題では、与えられた微分方程式を解く方法について解説します。微分方程式の形式は次の通りです:
(2x – y) / (x² + y²) dx + (2y + x) / (x² + y²) dy = 0
1. 方程式の整理
まず、与えられた方程式を整理します。式を以下のように分けることができます。
(2x – y) dx / (x² + y²) + (2y + x) dy / (x² + y²) = 0
このようにして、各項が積分可能な形式に分解されました。
2. 合成微分形式に変換
次に、変数変換を行い、微分を合成します。変数z = x + iy（iは虚数単位）とおくと、微分方程式は次の形になります。
dz / (x² + y²) = 0
ここで、zは複素数の形式であり、微分方程式が簡潔な形に表されました。
3. 積分による解法
この式を積分することで解を得ることができます。積分を行うと、次のような解が得られます。
ln(x² + y²) = C（Cは積分定数）
4. まとめ
最終的に、与えられた微分方程式の解は、変数変換と積分を通じて得ることができました。この方法を使うことで、より複雑な微分方程式を解く際にも有用です。微分方程式を解く際の重要なポイントは、適切な変数変換と積分手法を選ぶことです。
コメント