関数の合成における全射の証明：gofが全射ならgも全射であることの証明

この問題では、関数の合成における全射の性質について考えます。具体的には、関数f: A → Bとg: B → Cが与えられ、合成関数gofが全射であるならば、gも全射であることを証明する問題です。この記事では、この証明のステップを分かりやすく解説します。

1. まずは全射の定義をおさらい

関数が全射であるとは、その関数の定義域の各元が、値域のすべての元に対応するような関数です。言い換えると、関数f: A → Bが全射である場合、Aのすべての元がBの元に対応し、Bのすべての元がAの元に対応している状態を指します。

gofとは、関数gと関数fの合成を意味します。具体的には、gofは、fで変換された結果に対してgを適用するものです。gof: A → Cとなり、gof(x) = g(f(x))という形で表されます。合成関数gofが全射であるとは、Cのすべての元がAの元によって対応されるということです。

gofが全射であるならば、Cの任意の元cに対して、gof(x) = cとなるようなx ∈ Aが存在します。ここでgof(x) = g(f(x))なので、f(x)はgの逆画像としてCの元cに対応することになります。これにより、gがCのすべての元をカバーしている、つまりgも全射であることが示されます。

gofが全射であることから、gが全射であることが結論として導かれます。つまり、gがCの任意の元に対して対応する値を持つため、gが全射であるといえます。このように、合成関数が全射であれば、その構成要素である関数gも全射であるという性質が成り立ちます。

gofが全射であるならば、gも全射であるということは、合成関数の性質を理解する上で非常に重要な内容です。この証明を通して、関数の全射性の理解を深めることができます。