微分方程式 4x(y+1)y' = (x+y+1)(1+y-x) の解法

この記事では、微分方程式「4x(y+1)y’ = (x+y+1)(1+y-x)」の解法について詳しく解説します。問題の解析手順を順を追って説明しますので、ぜひ参考にしてください。

1. 与えられた微分方程式の整理

まずは、与えられた微分方程式を整理します。問題は以下の形です。

4x(y+1)y’ = (x+y+1)(1+y-x)

この方程式において、y’ は y の x に対する微分です。この式を解くためにまずは左辺を展開して、右辺と比較できるようにします。

次に、式を展開して整理します。左辺は 4x(y+1)y’ ですが、右辺は (x + y + 1)(1 + y – x) を展開していきます。

展開すると右辺は次のようになります。

(x + y + 1)(1 + y – x) = x(1 + y – x) + y(1 + y – x) + 1(1 + y – x)

これをさらに計算して整理します。

この微分方程式は変数分離法を使って解くことができます。x と y の関係を整理した後、両辺を分けて積分する形にします。

変数分離法により、微分方程式を次のように分けることができます。

dy/dx = [(x + y + 1)(1 + y – x)] / 4x(y + 1)

両辺を積分することで解を求めることができます。積分の結果、定数を加えた形で解が求められます。最終的な解は次のようになります。

解： y = f(x)（積分後の形）

微分方程式「4x(y+1)y’ = (x+y+1)(1+y-x)」を解くためには、変数分離法を用いて両辺を積分することが重要です。具体的な手順としては、まず式を展開して整理し、変数を分けて積分を行うことが求められます。