1以上100以下の整数の組み合わせ問題：積と和が3の倍数になる組み合わせの解法

この問題は、1以上100以下の整数の集合Uから異なる2つの数を選び、その積や和が3の倍数になる組み合わせを求める問題です。高校数学の「場合の数と確率」の分野に関連しており、問題を解くためには数の性質や場合の数の計算方法を活用します。

1. 積が3の倍数になる組み合わせ (1)

まず、積が3の倍数になるためには、選んだ2つの数のいずれかが3の倍数であれば十分です。なぜなら、3の倍数の数と他の任意の数の積は必ず3の倍数になるからです。

したがって、まず3の倍数の数を調べます。1から100までの3の倍数は3, 6, 9, 12, …, 99です。この数の個数は100 ÷ 3 = 33個です。

次に、積が3の倍数になる組み合わせを求めるには、3の倍数の数と他の任意の数を選べばよいので、組み合わせの数は33 × 99 / 2通りとなります。割り算をした後に重複を避けるために2で割ります。

和が3の倍数になるためには、選んだ2つの数の和が3で割り切れる必要があります。1から100までの数を3で割った余りで分類します。

数を3で割ると、余りは0, 1, 2のいずれかです。それぞれの余りについて数を分類します。

余り0: 3の倍数（3, 6, 9, …, 99） → 33個
余り1: 1, 4, 7, …, 100 → 34個
余り2: 2, 5, 8, …, 98 → 33個

和が3の倍数になるためには、余り0同士、余り1と余り2の組み合わせを選べばよいです。したがって、組み合わせの数は次のように求められます。

・余り0同士：33個の中から2つ選ぶ組み合わせ → 33C2
・余り1と余り2：34 × 33通り

組み合わせの数は、計算を通じて実際に求めることができます。組み合わせの数は次のように求めます。

(1)積が3の倍数になる組み合わせ: 33 × 99 / 2 = 1633通り
(2)和が3の倍数になる組み合わせ: (33C2) + (34 × 33) 通り

この問題を解くためには、まず数の性質に注目し、積や和の条件を満たす数を分類することが重要です。また、場合の数の基本的な計算方法を使うことで、効率的に組み合わせを求めることができます。