3直線が1点で交わる理由とその証明：数学の問題解説

こんにちは！今回の質問は「3直線x+2y=1, 3x-4y=1, ax+by=1が1点で交わるとき、異なる3点が一直線上にあることを証明せよ」という問題についてです。特に「1点で交わる」という条件の説明がなぜ必要なのか、そしてその後の証明にどのように繋がるのかについて詳しく解説します。

1. 3直線が1点で交わるとはどういうことか？

まず、「1点で交わる」という条件がなぜ必要かを理解することが重要です。この条件が意味するのは、3つの直線がすべて同じ点で交わるということです。もしも3つの直線が1点で交わらなければ、問題の後半で求める「3点が一直線上にあることの証明」は成立しません。

具体的に言えば、3つの直線が同じ点を交わることで、その交点を基準にして残りの2点が一直線上に並ぶことが分かります。逆に言うと、この交点がない場合、3点は一直線上に並ぶことはないということです。

この問題で求められているのは、与えられた3つの点（1,2)、(3,-4)、(a,b)が一直線上に並ぶことの証明です。まず、直線の方程式を使って、その直線上に3つの点が並ぶ条件を探し出します。

このために、まず2直線が交わる点（例えばx+2y=1と3x-4y=1）を求め、次にその交点がax+by=1の直線上に乗ることを確かめます。この一連の作業により、求める証明が可能となります。

「1点で交わる」という条件がなぜ問題文に含まれているかというと、これは数学的に直線の交点を求めるために必要な情報です。もしこの条件がなければ、証明の出発点が不確定になります。3つの直線が必ず1点で交わることを前提にすることで、次に進むことができるのです。

このように、条件の重要性を理解していないと証明の過程でつまずくことになります。そのため、問題の前提条件をしっかりと確認し、証明にどう影響するかを把握して進めることが大切です。

結論として、3直線が1点で交わる条件を前提に、与えられた3点（1,2), (3,-4), (a,b)が一直線上に並ぶことを証明するための手順を進めていきます。この証明の過程を理解することで、より深く数学の問題を解決する力が身につきます。

まとめると、まず「1点で交わる」という条件は、証明に必要な最初の一歩であり、この条件が確定することで、次に進むための足場を作ることができるのです。

今回の問題では、まず「1点で交わる」という条件が与えられているからこそ、証明が成り立つことが理解できました。このように問題の前提条件をしっかり把握することは、証明問題において非常に重要です。今後も数学の問題を解く際は、問題文に隠された前提を意識して進めていきましょう。