この問題では、関数y=e^(-x^2)における接線が、点(a, 0)を通るための定数aの範囲を求めるという内容です。問題に登場する接線の方程式や、解説の中で使われている式に関する考え方をしっかり理解することが重要です。この記事では、解説のプロセスをわかりやすく解説し、どのようにしてaの範囲を求めるのかを詳細に説明します。
問題の設定と接線の方程式
まず、問題に登場する関数はy = e^(-x^2)です。この関数における接線を考えます。接線の方程式は、一般的に点(t, e^(-t^2))での接線として、次のように書くことができます。
y – e^(-t^2) = -2t e^(-t^2)(x – t)
接線が点(a, 0)を通る条件
次に、この接線が点(a, 0)を通る条件を考えます。接線の方程式にaを代入して、接点が( a, 0 )であるという条件を与えると、次の式が得られます。
-e^(-t^2) = -2t e^(-t^2)(a – t)
得られた方程式からa, tの関係を求める
ここで、式を整理していきます。まず、両辺を-e^(-t^2)で割ると、次のような式が得られます。
1 = 2t(a – t)
これを展開すると、以下の式になります。
2t^2 – 2at + 1 = 0 ・・・（①）
①の式を満たすtの存在条件
この方程式(①)は、tに関する2次方程式です。tの解が実数で存在するためには、この方程式が実数解を持つ必要があります。2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式が0以上であることです。
判別式Δは次のように計算できます。
Δ = (-(-2a))^2 – 4(2)(1) = 4a^2 – 8
ここでΔ ≥ 0となる条件を考えます。Δ ≥ 0 となるためには、4a^2 – 8 ≥ 0が成立する必要があります。
定数aの範囲を求める
上記の不等式を解くと、a^2 ≥ 2、つまり|a| ≥ √2という条件が得られます。これにより、定数aの範囲は次のように求められます。
a ≤ -√2 または a ≥ √2
まとめ
問題の解法では、接線が点(a, 0)を通るための条件を立て、2次方程式を用いてtの範囲を求めました。その後、判別式を利用して実数解が存在する条件を導き、最終的に定数aの範囲を求めることができました。これにより、aの範囲はa ≤ -√2 または a ≥ √2 ということがわかりました。
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