微分方程式 xy' = √(x² + y²) の解法

この記事では、微分方程式「xy’ = √(x² + y²) (x > 0)」の解法について詳しく解説します。微分方程式を解く際のステップを順を追って説明しますので、ぜひ参考にしてください。

1. 微分方程式の整理

まずは与えられた微分方程式を整理します。問題は以下の形です。

xy’ = √(x² + y²)

ここで、y’ は y の x に対する微分です。この式を解くために、まずは y’ を求めることから始めます。

この方程式は変数分離法を使って解くことができます。まず、y’ = dy/dx として、x と y の関係を整理します。

xy’ = √(x² + y²) は次のように書き換えられます。

x(dy/dx) = √(x² + y²)

この式を x で割って、dy/dx の形に変形します。

dy/dx = √(x² + y²) / x

次に、両辺を積分して解くために変数を分けます。x と y の関係を積分できる形に整理します。

dy / √(x² + y²) = dx / x

ここで、両辺を積分することで解が得られます。左辺は y に関する積分、右辺は x に関する積分です。

積分を行うと次のような式が得られます。

∫(dy / √(x² + y²)) = ∫(dx / x)

これにより、解の形は次のようになります。

ln|x| = √(x² + y²) + C

ここで、C は積分定数です。この式を解くことで、y の関数として解が求められます。

微分方程式「xy’ = √(x² + y²)」は変数分離法を使って解くことができ、最終的な解は積分を通じて求めることができます。解法のステップとしては、変数の整理、積分、そして積分定数を含む一般解の導出が重要です。