2次方程式x²-2ax+4a+5=0の解αとβが実数となるための条件とα²+β²の最小値の求め方

2次方程式x²-2ax+4a+5=0において、解αとβが実数となるための条件を求め、α²+β²の最小値を求める方法を解説します。

1. 2次方程式の解の公式

一般的に、2次方程式ax²+bx+c=0の解は、解の公式を使って求めることができます。x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a という形です。ここで、b²-4acの部分を判別式と呼び、これが0以上であれば解は実数となります。

問題となる2次方程式x²-2ax+4a+5=0の場合、aが未知のパラメータです。まず、方程式を標準形に書き換えます。

x²-2ax + (4a+5) = 0 となります。この式の判別式を求めるために、b=-2a、c=4a+5となります。判別式はb²-4acで計算されます。

判別式が0以上である必要があります。すなわち、(-2a)² – 4(1)(4a+5) ≥ 0 という式を解きます。

計算すると、4a² – 16a – 20 ≥ 0 となります。これを解くと、aがある範囲にあることがわかります。

次に、α²+β²の最小値を求めます。αとβは解の公式を用いて求めることができます。解の公式から、α+β=-(-2a)/1=2a、αβ=4a+5となります。α²+β²は、(α+β)² – 2αβを使って計算できます。

これを計算すると、α²+β²の最小値が求められます。

2次方程式x²-2ax+4a+5=0の解が実数となるための条件を求め、α²+β²の最小値を求める方法について解説しました。解の公式や判別式をうまく活用することで、このような問題を解くことができます。