y = cos²θ + sinθ の最大値と最小値の求め方 | 数学の解説

今回は、0 ≦ θ < 2π の範囲で、y = cos²θ + sinθ の最大値と最小値を求める問題について解説します。三角関数の問題は、解き方のコツを掴むことで、確実に解けるようになります。では、具体的に問題を解いていきましょう。

1. 問題の整理

与えられた関数は、y = cos²θ + sinθ です。この関数の最大値と最小値を求めるためには、まず微分を使ってθの値を求め、次にその値を使って最大・最小を確認します。

2. 微分を使って関数の変化を調べる

まず、y = cos²θ + sinθ を微分します。微分の計算において、合成関数の微分法則を利用します。

y’ = d/dθ (cos²θ + sinθ) = 2cosθ(-sinθ) + cosθ = -2cosθsinθ + cosθ です。

3. y’ = 0 を解く

次に、y’ = 0 となるθの値を求めます。

-2cosθsinθ + cosθ = 0 を解きます。ここで、cosθ を因数分解します。

cosθ(-2sinθ + 1) = 0

よって、cosθ = 0 または -2sinθ + 1 = 0 の場合が考えられます。

cosθ = 0 のとき、θ = π/2, 3π/2 となり、-2sinθ + 1 = 0 のとき、sinθ = 1/2 で、θ = π/6, 5π/6 となります。

4. 各θの値でyの値を求める

次に、これらのθの値でyの値を求めて、最大値と最小値を確認します。

θ = π/2 のとき、y = cos²(π/2) + sin(π/2) = 0 + 1 = 1

θ = 3π/2 のとき、y = cos²(3π/2) + sin(3π/2) = 0 – 1 = -1

θ = π/6 のとき、y = cos²(π/6) + sin(π/6) = (√3/2)² + 1/2 = 3/4 + 1/2 = 5/4

θ = 5π/6 のとき、y = cos²(5π/6) + sin(5π/6) = (-√3/2)² + 1/2 = 3/4 + 1/2 = 5/4

5. 結果の確認

これらの計算結果から、y の最大値は 5/4、最小値は -1 であることがわかります。

6. まとめ

今回の問題では、y = cos²θ + sinθ の最大値と最小値を求めました。微分を使って関数の変化を調べ、θの値を求め、最終的に最大値と最小値を導きました。三角関数の最大値・最小値を求める際は、このように微分を使って解くことが一般的です。問題に慣れることで、よりスムーズに解けるようになるので、繰り返し練習してみてください。