2次関数 y=(x－1)²＋k の最大値からkの値を求める方法

2次関数 y=(x－1)²＋k の最大値が7であるとき、この関数におけるkの値を求める方法について解説します。xの変域が-2≦x≦2の範囲内で、最大値が7になるようにkを求めるためのステップを順を追って見ていきましょう。

1. 関数の形を確認する

まず、与えられた関数は y = (x – 1)² + k です。この関数は2次関数であり、頂点形式で表されています。2次関数は一般的にy = a(x – h)² + k の形で書けますが、この場合、a = 1、h = 1、k は定数であることがわかります。

関数 y = (x – 1)² + k は、x = 1 のときに最小値を取り、それ以外のxの値では必ず増加または減少します。つまり、頂点 (1, k) を中心に放物線が上に開いています。

最小値がx = 1であるため、xが-2または2のときにyの最大値が求められます。これを理解したうえで、次に最大値を求めます。

x = -2 のときと x = 2 のとき、yの値を計算します。まず、x = -2 のとき、yの値は次のように求められます。

y = (-2 – 1)² + k = (-3)² + k = 9 + k

次に、x = 2 のとき、yの値は次のように求められます。

y = (2 – 1)² + k = 1² + k = 1 + k

問題文には、「yの最大値は7」とあります。したがって、yが最大値7になる条件を利用します。

y = 9 + k の最大値が7になる場合、次のように計算します。

9 + k = 7 → k = 7 – 9 → k = -2

したがって、この2次関数におけるkの値は「-2」となります。

このように、最大値の条件を使ってkを求めることができました。