確率論の命題2.19について: infX_nとsupX_nが確率変数である理由と証明

確率論の命題2.19に関する質問では、確率変数X_nが与えられたときに、inf X_nおよびsup X_nが確率変数であることを示す問題について扱っています。特に、次の等式の成り立ちについて疑問があるようです。

・{inf X_n < a} = ¥bigcup_{n=1}^{¥infty} {X_n < a}

・{sup X_n < a} = ¥bigcup_{n=1}^{¥infty}{X_n > a}

1. infX_nおよびsupX_nの定義

まず、inf X_nとsup X_nは、それぞれX_nの列に対する下限（infimum）と上限（supremum）を意味します。これらは、無限の確率変数の集合の中で、最小または最大となるような値を取ります。具体的には、inf X_nはX_nの値が取ることができる最小の下限値であり、sup X_nはその最大の上限値です。

2. {inf X_n < a}の証明

「{inf X_n < a}」という表現は、すべてのX_nに対して、inf X_nがaより小さいことを意味します。これを数式で表すと、「{inf X_n < a}」はX_nがaより小さい場合の確率の集合であり、この場合、任意のnに対してX_nがaより小さいことが必要です。したがって、¥bigcup_{n=1}^{¥infty} {X_n < a}の式が成り立つ理由は、X_nのいずれかの値がaより小さい場合にinf X_nもaより小さくなるからです。

3. {sup X_n < a}の証明

次に、「{sup X_n < a}」という表現は、sup X_nがaより小さい場合を示しています。この場合、X_nのすべての値がaより小さい必要があるため、X_nがaより小さい場合の確率の集合に対する積み重ねで成り立ちます。したがって、¥bigcup_{n=1}^{¥infty}{X_n > a}はX_nのどれかがaより大きければsup X_nがaより大きくなることを意味しており、この表現が成立します。

4. 定義の理解と不明点

ご質問の内容に関して、確率論の基本的な定義が理解できていれば、これらの式の成立は明確に納得できるはずです。もし、この証明が直感的にわかりにくい場合は、確率変数がどのように挙動し、無限の集合に対してどのように下限と上限が決まるのかという観点から再度確認してみてください。

まとめ

inf X_nとsup X_nの確率変数としての振る舞いについては、実際には「どのようにして各X_nが値を取るか」という視点から理解できます。それぞれの式が成り立つ理由を深く掘り下げることで、確率論における無限の集合の扱いに対する理解が深まります。