「実数x、yがx²+y²=9を満たすとき、3x+4yの最大値と最小値を求めなさい」という問題を解いていきます。この問題では、2変数の最適化問題を解くための手法を学ぶことができます。
問題の整理とアプローチ
与えられた条件はx² + y² = 9です。この式は、xとyの組み合わせが原点から半径3の円上にあることを意味します。つまり、xとyはこの円上の点を表していると考えることができます。
求めるのは、3x + 4yという線形関数の最大値と最小値です。円上の点で3x + 4yが最小または最大となる点を見つけるために、最適化を行います。
極値を求める方法
円の方程式と線形関数の最大・最小を求めるためには、ラグランジュの未定乗数法を使うのが有効です。まず、目的関数L(x, y) = 3x + 4yと制約条件g(x, y) = x² + y² – 9を設定します。
ラグランジュの未定乗数法に従い、L(x, y)を制約条件g(x, y)に対して最適化するためには、次のようにします。
ラグランジュの未定乗数法による計算
まず、L(x, y) = 3x + 4y、g(x, y) = x² + y² – 9のラグランジュ関数を定義します。
λはラグランジュ乗数で、次の式を立てます。
L(x, y, λ) = 3x + 4y + λ(x² + y² – 9)
次に、L(x, y, λ)をx、y、λで偏微分し、0に設定します。これにより、x、y、λの値を求めることができます。
計算結果と解の導出
ラグランジュの未定乗数法で偏微分した結果、次のような式が得られます。
∂L/∂x = 3 + 2λx = 0
∂L/∂y = 4 + 2λy = 0
∂L/∂λ = x² + y² – 9 = 0
これらの方程式を解くと、x = -4/5、y = -3/5、またはx = 4/5、y = 3/5の解が得られます。
最大値と最小値の求め方
得られたxとyの値を元の関数3x + 4yに代入すると、最大値と最小値が求められます。
例えば、x = 4/5、y = 3/5の場合、3x + 4y = 3(4/5) + 4(3/5) = 12/5 + 12/5 = 24/5です。
一方、x = -4/5、y = -3/5の場合、3x + 4y = 3(-4/5) + 4(-3/5) = -12/5 – 12/5 = -24/5です。
まとめ：最小値と最大値
したがって、3x + 4yの最大値は24/5、最小値は-24/5となります。このように、ラグランジュの未定乗数法を使うことで、制約条件を持つ最適化問題を解くことができました。
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