実数xとyに関する連立方程式の解法と定数kの求め方

実数xとyに関する連立方程式

・x + 2y = kx

・3x + 2y = ky

この問題では、(x, y) = (0, 0) 以外の解を持つための実数の定数kを求める方法を解説します。まずは、問題を整理して計算のステップを追っていきます。

1. 方程式の整理

与えられた連立方程式を整理していきます。最初の式は、x + 2y = kx です。これを x を左辺に集めて次のようにします。

x – kx = -2y

(1 – k)x = -2y

次に、2番目の式 3x + 2y = ky を整理します。

3x + 2y – ky = 0

これを、x と y の関係式に変形します。

次に、(1 – k)x = -2y と 3x + 2y – ky = 0 を解くために、x と y をそれぞれの式で求めます。

まず、1番目の式 (1 – k)x = -2y を x について解きます。

x = -2y / (1 – k)

これを2番目の式 3x + 2y – ky = 0 に代入します。

3(-2y / (1 – k)) + 2y – ky = 0

この式を展開して解いていきます。

解が存在するためには、この連立方程式が線形独立でなければなりません。つまり、解が(0, 0) 以外にも存在するためには、k の値に関して特定の条件が必要です。この条件を求めるために式を整理していきます。

最終的に解が非零解を持つための k の範囲が求められます。

この問題を解くために重要なのは、連立方程式を整理してから、未知数 x と y を代入していくことです。具体的にkの値を求めることで、(x, y) = (0, 0) 以外の解が得られます。このような方法を用いると、数学的な思考を深めることができます。