放物線と接する円の方程式の求め方：数学の問題解説

座標平面上の放物線と接する円の方程式を求める問題について、ここでは具体的なステップを追って解説します。この問題では、与えられた放物線と接する円を求めるために、放物線の交点の計算と円の接点条件を利用します。

1. 放物線の交点を求める

まず、放物線y = x² + 2x – 5とx軸との交点を求めます。x軸との交点は、y = 0となる点です。これを方程式に代入して解きます。

x² + 2x – 5 = 0

この二次方程式を解くと、交点のx座標が求まります。

次に、この交点で放物線と接する円の方程式を求めます。円が放物線と接するための条件は、円と放物線が一点で接することです。この条件を利用して、円の方程式を立てます。

円の一般的な方程式は、(x – h)² + (y – k)² = r² です。この円が放物線と接するためには、円の接点で放物線の接線と円の接線が一致する必要があります。

円と放物線が接するためには、接点での接線の傾きが一致する必要があります。放物線の接線の傾きは、その点での微分によって求めることができます。

放物線の微分は、y’ = 2x + 2 です。これを交点のx座標に代入して、接線の傾きを求めます。

円の接点の条件を満たすように、円の中心(h, k)と半径rを決定します。これにより、放物線と接する円の方程式が求まります。

この問題では、まず放物線のx軸との交点を求め、その後、円が放物線と接する条件を使って円の方程式を導きました。放物線の交点を求めることと、接点での接線の傾きを一致させることが重要です。この方法を応用して、他の類似問題にも挑戦してみましょう。