有理数、実数、自然数、整数の演算についての基本的な証明

数学の基本的な演算において、数の種類ごとの性質は非常に重要です。この記事では、以下の4つの命題について証明します。

これらの命題を理解することで、数の性質や演算の取り扱いについて深い理解を得ることができます。

1. 2つの有理数の和、差、積、商は常に有理数である

有理数とは、整数の比として表される数です。すなわち、a/bの形で表される数（a、bは整数、b≠0）です。

まず、2つの有理数を考えます。例えば、a/b と c/d の形の有理数です。

– 和: (a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd は、整数同士の加算および乗算であり、分子も分母も整数であるため、有理数です。

– 差: (a/b) – (c/d) = (ad – bc) / bd も同様に、有理数です。

– 積: (a/b) × (c/d) = ac / bd は、分子と分母が整数であるため、有理数です。

– 商: (a/b) ÷ (c/d) = ad / bc も、c ≠ 0 であれば、有理数です。

実数は、有理数を含む数の集合であり、無理数も含みます。実数の和、差、積、商が常に実数である理由は、実数が閉じているためです。

– 和: 2つの実数の和は、無理数同士でも実数です。

– 差: 同様に、実数同士の差も実数です。

– 積: 実数同士の積も実数です。

– 商: 実数同士の商（分母がゼロでない限り）も実数です。

自然数は0以上の整数で、通常は1から始まります。

– 和: 自然数同士の和は自然数です（例: 2 + 3 = 5）。

– 積: 自然数同士の積も自然数です（例: 2 × 3 = 6）。

– 差: ただし、自然数同士の差は必ずしも自然数とは限りません。例えば、2 – 3 = -1 では負の数になります。

– 商: 自然数同士の商も、整数になる場合とならない場合があります。例えば、5 ÷ 2 = 2.5 は実数ですが自然数ではありません。

整数は、正の整数、負の整数、ゼロを含みます。

– 和: 整数同士の和は常に整数です。

– 差: 整数同士の差も常に整数です。

– 積: 整数同士の積も常に整数です。

– 商: 整数同士の商は必ずしも整数とは限りません。例えば、7 ÷ 2 = 3.5 は整数ではなく実数です。

これらの証明を通じて、数の種類ごとの演算結果に関する性質を理解できるようになります。有理数、実数、自然数、整数の演算における基本的なルールを押さえておくことは、数学的な問題を解く上で非常に重要です。