△ABCの面積と交点を使った問題の解法（kを使った式）

この問題では、三角形△ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点L, M, Nを取り、交点P, Q, Rを求める問題です。具体的には、(1) CP:PNをkを用いて表す式、(2) △PQRの面積が△ABCの面積の1/2となるkの値を求める問題を解説します。

問題の設定と前提条件

与えられた条件に従い、三角形△ABCの辺に点L, M, Nを設定し、それぞれの辺上でBL/BC＝CM/CA＝AN/AB＝kとします。ここで、ALとCNの交点をP、ALとBMの交点をQ、BMとCNの交点をRとし、交点P, Q, Rを求めていきます。

交点PとNを結んだとき、比CP:PNを求めるためには、三角形の相似関係や内分点の利用を考えます。このとき、ALとCNが交わる点Pと、BL:BC、CM:CA、AN:ABの比率に関する計算を行います。結果的にCP:PNをkを使って表すと、式は次のように求められます。

CP:PN = 1 – k : k^2

次に、三角形△PQRの面積が三角形△ABCの面積の1/2となるkの値を求めます。ここで、面積の比が1:2になるようなkの値を求めるために、各交点による分割比や面積比を利用します。計算を進めることで、以下のような式が得られます。

k = (1 – k) / (k^2 – k + 1)

この問題は、三角形の辺上に設定された点による交点を求め、その交点の位置に基づいて面積比や比率を求める問題です。特に、kを使った計算において、相似比や内分点を上手に活用することがポイントとなります。計算の過程や方法をしっかり理解して、問題を解くことが重要です。