この問題では、半正定値対称行列Aによって定義される2次関数 f(x) := x^T A x が正定値でなければ狭義凸関数でないことを証明します。正定値行列の特性と狭義凸関数の定義を踏まえて、証明を行います。
1. 正定値行列と半正定値行列の定義
まず、行列Aが正定値であるとは、任意の非ゼロベクトルxに対してx^T A x > 0が成り立つことを意味します。半正定値行列は、x^T A x ≥ 0が成立する行列です。つまり、正定値行列は半正定値行列の特別なケースです。
2. 凸関数の定義と狭義凸性
関数f(x)が凸であるためには、任意のx1, x2に対して、f(tx1 + (1 – t)x2) ≤ t f(x1) + (1 – t) f(x2)が成り立つ必要があります。また、狭義凸関数とは、上記の不等式が厳密に成り立つ関数のことです。
3. 2次関数f(x) := x^T A x の解析
2次関数f(x) = x^T A x の場合、Aが正定値であれば、f(x)は凸であり、さらに狭義凸関数になります。これは、Aの固有値がすべて正であるため、f(x)の2階微分が常に正であるからです。しかし、Aが正定値でない場合、f(x)が狭義凸関数でないことを示さなければなりません。
4. Aが正定値でない場合の証明
Aが正定値でない場合、少なくとも1つの固有値がゼロまたは負であるため、f(x)の2階微分が必ずしも正ではなくなります。この場合、f(x)が狭義凸関数でない理由は、曲線の一部で平坦になったり、凹んだりする可能性があるからです。
5. まとめ
Aが正定値でない場合、2次関数f(x) := x^T A x は狭義凸関数ではなく、これはAの固有値に依存する特性です。正定値行列の重要性が証明されたことで、狭義凸性を確立するためにはAが正定値であることが不可欠であることが理解できました。
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