この問題では、(1/x^2) + (1/x) + x – 6 = 0 という方程式を解く方法を解説します。この方程式は、分数式と変数xを含んでいますが、適切な代数的操作を使うことで解くことができます。
方程式の整理
最初に与えられた方程式は (1/x^2) + (1/x) + x – 6 = 0 です。この式を解くためには、xに関する項を整理していきます。最初に、分数の項 (1/x^2) と (1/x) を同じ分母に合わせる方法を考えます。
共通の分母に合わせる
まず、(1/x^2) と (1/x) の項を一つにまとめます。これには、xの最小公倍数である x^2 を使い、次のように式を変形します。
(1/x^2) + (1/x) = (1/x^2) + (x/x^2) = (1 + x)/x^2
したがって、元の式は次のように変形できます。
(1 + x)/x^2 + x – 6 = 0
方程式の整理と解法
次に、方程式を解くために (1 + x)/x^2 + x – 6 = 0 の形にして解きます。これを解くためには、分母を払うためにx^2を掛ける方法が考えられます。
x^2 * ((1 + x)/x^2) + x * x^2 – 6 * x^2 = 0
これにより、分母が消え、以下のようになります。
1 + x + x^3 – 6x^2 = 0
式を整理すると。
x^3 – 6x^2 + x + 1 = 0
解の求め方
この方程式は三次方程式であり、解くためには因数分解や代数的な方法が必要です。具体的な解法としては、試しに値を代入して解を見つけ、因数分解を行います。x = 1 を代入してみると。
1^3 – 6(1)^2 + 1 + 1 = 0
したがって、x = 1 は解の一つです。次に、この解を使って因数分解を行い、残りの解を求めることができます。
まとめ
このように、(1/x^2) + (1/x) + x – 6 = 0 という方程式は、分数項を共通の分母に合わせ、適切に整理することで三次方程式に帰着させることができます。その後、因数分解などを使って解を求めることができます。解法の手順をしっかり理解し、他の問題にも応用できるようにしましょう。
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