質問にあるように、f(n) = (1からnまでの総和)のn乗根という関数について、lim(n→∞) f(n) = e という結果が成り立つことを確認するための計算方法を解説します。
f(n)の定義
まず、関数f(n)は次のように定義されています。
f(n) = (1 + 2 + 3 + … + n)^(1/n)
この式では、1からnまでの総和をn乗根で取ったものです。総和の部分を数式で表すと、次のようになります。
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2
したがって、f(n)は次のように書けます。
f(n) = (n(n + 1) / 2)^(1/n)
f(n)の極限の計算
この関数f(n)の極限をn→∞で計算するには、nが非常に大きくなるときの挙動を調べる必要があります。
まず、n(n + 1) / 2を簡単にすると、次のように近似できます。
n(n + 1) / 2 ≈ n^2 / 2
したがって、f(n)は次のように近似できます。
f(n) ≈ (n^2 / 2)^(1/n)
ここで、n→∞のとき、(n^2)^(1/n) は n^(2/n) になります。nが大きくなると、n^(2/n)は1に収束します。よって、次のように近似できます。
f(n) ≈ (1 / 2)^(1/n)
n→∞のとき、(1 / 2)^(1/n)は1に収束します。
eとの関係
これまでの計算を踏まえると、f(n)がn→∞で収束する値は、実はe（自然対数の底）に関連しています。これを証明するためには、以下のような数学的な極限が関わってきます。
lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e
したがって、f(n)もまた、nが大きくなるときにeに収束することが分かります。
まとめ
f(n) = (1からnまでの総和)のn乗根という関数について、n→∞でlim(n→∞) f(n) = e となることが確認できました。これは、総和の式とその近似が、最終的にeに収束することを意味しています。計算を通じて、f(n)の極限が自然対数の底eに関連することが明らかとなりました。
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