ベクトル問題の解法：平面上の点と垂線の座標計算

ベクトルに関する問題では、平面上の点の関係や垂線の座標計算がよく出題されます。この記事では、2つのベクトル問題に取り組み、解法をステップバイステップで解説します。具体的な計算方法を理解し、数学的な問題解決力を高めましょう。

問題1：4点が同一平面上にあるとき、aの値を求める

問題の設定では、4点 A(2, 0, 0), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0), D(a-4, a-1, a-2) が同一平面上にあることが求められています。この場合、3つのベクトルを用いて平面の方程式を求め、その後、点Dがその平面上に乗る条件を導き出す方法でaを求めます。

まず、ベクトルAB、AC、ADを計算します。次に、この3つのベクトルが同一平面上にあるためには、これらのベクトルの外積がゼロである必要があります。これを使って、aの値を求めることができます。

1. ベクトルAB = B – A = (0-2, 1-0, 1-0) = (-2, 1, 1)

2. ベクトルAC = C – A = (1-2, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)

3. ベクトルAD = D – A = (a-4-2, a-1-0, a-2-0) = (a-6, a-1, a-2)

次に、ベクトルABとACの外積を求め、その外積とベクトルADの内積がゼロである条件を設定します。

これを解くことで、aの値が求まります。

問題の設定では、3点A(3,0,0), B(0,2,0), C(0,0,1)が空間にあり、原点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたときのHの座標を求めます。この問題は、空間内の点と平面の関係を理解し、垂直なベクトルを使って解決します。

まず、平面ABCの法線ベクトルを求めるために、ベクトルABとACを計算し、その外積を取ります。この外積が平面の法線ベクトルになります。

1. ベクトルAB = B – A = (0-3, 2-0, 0-0) = (-3, 2, 0)

2. ベクトルAC = C – A = (0-3, 0-0, 1-0) = (-3, 0, 1)

次に、ベクトルABとACの外積を計算して、平面ABCの法線ベクトルNを得ます。

外積N = AB × AC = (2, 3, 6)

その後、法線ベクトルNを使って、原点Oから平面ABCへの垂線OHを下ろした際の点Hの座標を求めます。このためには、平面の方程式に垂直なベクトルを用いて点Hの座標を計算します。

ベクトルを使った問題では、平面上の点や垂線の計算において、ベクトルの演算が非常に重要です。今回紹介した2つの問題では、ベクトルの加算、外積、内積を駆使して、空間内での関係を解明しました。

このような問題を解くためには、基本的なベクトルの演算を理解し、問題に適した方法を選んで計算を進めることが大切です。ベクトルの計算をマスターすれば、さまざまな数学的な問題に対応できるようになります。