分数の総和を求める問題は、数学の基本的な問題ですが、特に「既約分数」と呼ばれるものに注目することで、少し難易度が上がります。この記事では、1/30, 2/30, …, 30/30という30個の分数の中で、既約分数だけを選び、その総和を求める方法について解説します。
既約分数とは？
既約分数とは、分子と分母が互いに素である分数のことです。つまり、分子と分母の最大公約数（GCD）が1である分数を指します。例えば、2/4は約分すると1/2となりますが、これは既約分数ではありません。一方で、3/4はそのまま既約分数です。
分数の列の中で既約分数を見つける方法
与えられた分数列は、1/30, 2/30, 3/30, …, 30/30です。まず、この分数列の中で既約分数を見つけるためには、分子と分母が互いに素な組み合わせを探します。例えば、2/30や4/30は、分子と分母に共通の約数があるため、既約分数ではありません。
したがって、1から30までの数のうち、30と互いに素な数を見つけ、それらの数に対する分数が既約分数になります。30と互いに素な数は、1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29の8つです。
既約分数の総和を求める方法
次に、1/30, 7/30, 11/30, 13/30, 17/30, 19/30, 23/30, 29/30という既約分数を足し合わせます。
その総和は、次のように計算できます。
(1 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29) / 30
分子の合計は1 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 120です。したがって、総和は120/30となり、最終的に4となります。
まとめ
1/30から30/30までの分数の中で、既約分数だけを選んでその総和を求める問題では、30と互いに素な数を見つけ、その分数を足し合わせることで解くことができます。この方法を使うことで、既約分数の総和が簡単に求められます。今回の計算では、既約分数の総和は4となりました。
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