方程式 (1/x^2) + (1/x) + x + a = 0 の解が2つ存在するためのaの条件を求める問題です。このような方程式では、aの値に応じて解が2つになる条件が求められます。今回はその解法を詳しく解説します。
方程式の整理
まずは、与えられた方程式を整理します。元の方程式は次のようになっています。
(1/x^2) + (1/x) + x + a = 0
この方程式を解くためには、まずはすべての項をxの多項式に変換していくことが重要です。分数項を消すために、x^2を掛けて方程式を変形します。
方程式を解くための変形
まず、(1/x^2) + (1/x) + x + a = 0 の両辺にx^2を掛けます。
x^2 * (1/x^2) + x^2 * (1/x) + x^2 * x + x^2 * a = 0
この結果、次のように整理されます。
1 + x + x^3 + a * x^2 = 0
したがって、方程式は次のようになります。
x^3 + a * x^2 + x + 1 = 0
解の個数と条件
ここで、方程式 x^3 + a * x^2 + x + 1 = 0 の解が2つ存在するための条件を求めます。多項式方程式の解の個数は、係数aの値によって変化します。
まず、x = -1 を代入してみます。x = -1 が解となる条件を調べることで、aの値が求められます。
(-1)^3 + a * (-1)^2 + (-1) + 1 = 0
これを計算すると。
-1 + a – 1 + 1 = 0
a – 1 = 0
a = 1
a = 1 の場合の解の個数
a = 1 の場合、方程式は次のようになります。
x^3 + x^2 + x + 1 = 0
この方程式は因数分解できます。
(x + 1)(x^2 + 1) = 0
したがって、x = -1 は実数解の1つであり、x^2 + 1 = 0 は虚数解を持ちます。これにより、解が2つ（1つの実数解と1つの虚数解）であることが確認できます。
まとめ
方程式 (1/x^2) + (1/x) + x + a = 0 の解が2つ存在するための条件は、a = 1 です。この値で方程式は1つの実数解と1つの虚数解を持つため、解が2つであることが確定します。
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