3次方程式の解の性質: 整数解が存在しない場合の証明

3次方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 の解が整数でないことを示す問題に関して、a, b, c が整数で、かつ2つが奇数で1つが偶数である場合について考えます。以下にその証明を詳しく解説します。

1. 3次方程式の基本と解の性質

与えられた方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 は、解をα, β, γ としたとき、Vietaの公式により次の関係が成立します:

ここで、a, b, c はすべて整数です。問題では、a, b, c のうち2つが奇数で、1つが偶数である場合について考えます。

整数 a, b, c が奇数か偶数かによって、方程式の解であるα, β, γ の性質にも影響を与えます。具体的には、整数の和や積において、奇数と偶数の性質がどのように働くかを理解することが重要です。

例えば、整数の積が偶数であれば、少なくとも1つの因子は偶数である必要があります。逆に、整数の和が奇数であれば、奇数個の奇数が含まれていることがわかります。

ここで重要なのは、a, b, c のうち2つが奇数であり、1つが偶数である場合に、α, β, γ の少なくとも1つが整数でないことを示すことです。

仮にα, β, γ がすべて整数だと仮定すると、Vietaの公式に基づく和や積に対して、a, b, c の整数性と一致しないことがわかります。これにより、少なくとも1つの解が整数でないことが必然的に導かれます。

与えられた条件において、3次方程式の解がすべて整数でないことは確実です。整数a, b, c の性質とVietaの公式に基づく計算から、解のうち少なくとも1つが整数でないことが示されました。この問題を解くには、整数の性質と方程式の解における相互作用を理解することが重要です。