複素関数 f(z) の微分可能性についての詳解

この問題では、複素関数 f(z) が z = 0 で微分可能かどうかを調べる方法について解説します。関数は次のように定義されています:

f(z) = 0 (z = 0)
f(z) = z² / |z| (z ≠ 0)

微分可能性の定義

複素関数がある点で微分可能であるとは、その点で微分係数が存在することを意味します。定義に基づき、微分係数は次のように求めます:

f'(z) = lim (h → 0) [f(z + h) – f(z)] / h

この定義に従い、z = 0 での微分可能性を調べる必要があります。

まず、z = 0 での関数の定義に注目します。z = 0 のとき f(z) = 0 ですので、この点での関数値は既に0であることがわかります。次に、微分係数を計算するために、h → 0 の極限を調べます。

h → 0 のとき、f(z + h) と f(z) を次のように置き換えます:

f(z + h) = (z + h)² / |z + h| (z ≠ 0)

ここで、h → 0 において、f'(z) が存在するかどうかを調べる必要があります。結果的に、z = 0 で微分可能かどうかは、関数の挙動に依存します。

微分可能性を調べるために、複素数の異なる方向から近づける方法も有効です。例えば、実軸方向や虚軸方向など、異なる方向からの極限を調べることができます。

最終的に、z = 0 における関数 f(z) の微分可能性を評価すると、微分係数が存在しないことがわかります。したがって、f(z) は z = 0 で微分可能ではないことが結論できます。

複素関数 f(z) の微分可能性を調べる際、定義に基づき、z = 0 での微分係数の極限を計算しました。複素数の方向によって異なる結果が得られることがあるため、微分可能性の確認には慎重な計算が必要です。