三角関数の合成：√3 sin θ + cos θ ≧ √2 を 2 sin(θ + 1/6π) ≧ √2 に変形する方法

三角関数の合成に関する問題は、高校数学でもよく扱われるテーマです。この問題では、√3 sin θ + cos θ ≧ √2 を 2 sin(θ + 1/6π) ≧ √2 という形に変形する方法を学びます。ここではその途中計算を丁寧に解説します。

1. 三角関数の合成の基本

三角関数の合成とは、異なる三角関数の和を1つの三角関数にまとめる技術です。例えば、a sin(θ) + b cos(θ) の形を 1つの三角関数で表現する方法です。基本的な形は、a sin(θ) + b cos(θ) を R sin(θ + α) に変形するというものです。

ここでRは合成後の振幅、αは位相を意味します。この方法を使って、与えられた式を簡単な形にまとめることができます。

問題では、√3 sin θ + cos θ ≧ √2 の形が与えられています。これを合成して1つの三角関数にまとめる手順を説明します。

まず、Rとαを求めるための式を使います。

R = √(a² + b²) と α = tan⁻¹(b/a) です。ここでa = √3, b = 1 となります。

具体的に計算していきます。

R = √((√3)² + 1²) = √(3 + 1) = √4 = 2

次に、αを求めます。

α = tan⁻¹(1/√3) = 1/6π

これで、√3 sin θ + cos θ は 2 sin(θ + 1/6π) と書き換えることができます。したがって、問題の式は次のように変形できます。

2 sin(θ + 1/6π) ≧ √2

このように、√3 sin θ + cos θ ≧ √2 という式は、2 sin(θ + 1/6π) ≧ √2 に変形することができました。この方法を使うことで、複雑な三角関数の式を簡単に扱うことができます。