ベクトルの問題において、3つの異なる点A(aベクトル), B(bベクトル), C(cベクトル)と点P(pベクトル)が与えられたとき、点Pがどの図形上に位置するのかを求める問題があります。この問題のポイントは、与えられたベクトル方程式を使って図形の性質を明確にすることです。
問題のベクトル方程式とその意味
問題では、次のベクトル方程式が与えられています。
(a→ - b→) ・ (2p→ - a→ - b→) = 0
ここで、a→, b→, c→はそれぞれ点A, B, Cを表し、p→は点Pの位置ベクトルを表しています。この方程式の意味を理解することが、点Pがどの図形上にあるかを明らかにする鍵です。
ベクトルの内積と直線との関係
与えられた式において、内積（・）が使われていることに注目します。内積がゼロである場合、2つのベクトルは直線的に直交している、すなわち直角を形成することを意味します。この内積の条件を満たす点Pがどのような位置にあるのかを考察することが求められます。
この場合、(a→ – b→)と(2p→ – a→ – b→)が直交していることが示され、点Pは直線ABの垂直二等分線上に位置することが分かります。
点Pが成す図形の特定
次に、この条件が点Pに与える制約を具体的に理解します。点Pは、点Aと点Bを結ぶ直線ABを基準に、ABの垂直二等分線上に存在することが分かります。この垂直二等分線上に点Pが位置するため、点PはABを二等分する位置にあり、また点PとA、Bとの距離が等しいという性質も持ちます。
まとめ
問題のベクトル方程式に基づいて、点PがABの垂直二等分線上にあることが分かりました。このような問題では、ベクトルの内積や直交性の性質を利用して、図形上の点の位置関係を明確にすることが重要です。点Pがどの図形上にあるかを求める際には、ベクトルの性質や計算を駆使して解決することが可能です。
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