中央値が最小になる理由と偶数・奇数データの違いについて

この問題では、データの中央値がなぜ最小の「力積」の値を持つのか、また、データの数が偶数または奇数の場合で式がどのように変化するのかを考えます。

問題の背景と中央値

与えられたn個のデータa1, a2, …, anが、a1 ≦ a2 ≦ … ≦ anの順に並んでいます。このとき、関数g(x) = |x – a1| + |x – a2| + … + |x – an|が与えられています。問題は、この関数g(x)が最小となるxを求めることです。

この関数g(x)は、xの位置に対する各データ点との「距離」の合計です。この距離を最小にするxは、「中央値」であることが示されます。

なぜ中央値で最小になるのか

g(x)が最小となるxは、中央値である理由を直感的に理解するために、まずg(x)がどのように変化するかを考えます。g(x)は、xがデータの中心に近づくほど、各データ点との距離の合計が小さくなります。データ点が1つ増えるごとに、そのデータ点がg(x)に与える影響は少なくなり、中央値付近での距離が最小になるため、中央値が最小の値を持つことがわかります。

偶数と奇数のデータでの違い

データ数が偶数の場合、中央値は2つの中央のデータ点の平均値になります。奇数の場合は、中央の1つのデータが中央値になります。どちらのケースでも、g(x)は中央値で最小となりますが、偶数の場合は「中央の2つ」の間の値が最適な位置になります。

実際に計算すると、偶数の場合のg(x)の最小値は2つの中央データ点の間で発生し、奇数の場合は中央のデータ点で発生します。この違いは、最小値が最も影響を与える位置においてのみ異なります。

まとめ

データの中央値が最小になる理由は、データの「距離」の合計が最小になる点が中央値であるからです。データ数が偶数か奇数かで式に変化がありますが、どちらの場合でも中央値で最小となることは変わりません。この考え方は「標準偏差和」と呼ばれることもあり、統計学や確率論でも重要な役割を果たします。