この問題では、自然数に関連する集合論の基本的な性質とその解釈について問われています。特に、倍数の関係や集合の包含に関する問題です。この記事では、B(m) ⊆ B(n) の意味とその時にmとnがどのような関係を持つのか、またF(n)の定義とその集合間の関係について解説します。
B(m) ⊆ B(n) の意味
まず、B(n)とB(m)は、それぞれnの倍数とmの倍数からなる集合です。B(m) ⊆ B(n)ということは、mの倍数のすべての数がnの倍数であるということを意味します。この関係が成り立つためには、mがnの倍数である必要があります。つまり、mはnで割り切れる数でなければなりません。したがって、B(m)がB(n)に含まれるのは、mがnの倍数である場合のみです。
F(m) ⊆ F(n) の意味
次に、F(n)は自然数nに対してn≦xとなる自然数全体の集合を指します。F(m) ⊆ F(n)が成り立つためには、m≦nでなければなりません。具体的には、mがn以下であれば、F(m)はF(n)の部分集合となります。この関係が成り立つ理由は、m≦nのとき、F(m)の要素はすべてF(n)にも含まれるからです。
n≦x の役割
問題文における「n≦x」という表現は、xがn以下の自然数であることを意味します。F(n)はn以下の自然数の集合であり、その集合に含まれるのはnより小さいか等しい全ての自然数です。この「n≦x」の条件がF(n)の定義において重要な役割を果たし、n≦mという関係が成立することで、F(m) ⊆ F(n)が成り立つことがわかります。
まとめ
今回の問題では、自然数に関連する集合とその関係について考えました。B(m) ⊆ B(n)が成り立つためには、mがnの倍数である必要があり、F(m) ⊆ F(n)が成り立つためには、m≦nである必要があります。これらの基本的な集合論の理解が、問題を解く鍵となります。
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