循環小数とは、小数点以下に繰り返しがある数のことを指します。例えば、0.333… や 0.666… などが循環小数です。これらの循環小数を分数で表す方法とその証明について解説します。
循環小数とは？
循環小数は、小数点以下に同じ数字が繰り返される特徴があります。例えば、0.333… は、数字「3」が無限に繰り返されている循環小数です。このような数を分数に変換する方法を理解するために、まずは例を使って具体的に見ていきます。
例: 0.333… を分数で表す
まず、0.333… の循環小数を分数に変換してみましょう。0.333… を x とおきます。
1. x = 0.333…
次に、両辺に10をかけてみます。
2. 10x = 3.333…
次に、1番目の式を2番目の式から引きます。
3. 10x – x = 3.333… – 0.333…
これを計算すると、
9x = 3
ここからxを求めると、
x = 3/9 = 1/3
したがって、0.333… は 1/3 という分数で表すことができるのです。
循環小数の一般的な解法
他の循環小数でも同様の方法を使って分数に変換できます。例えば、0.666… の場合も、同じように設定して解くことができます。
1. x = 0.666…
2. 10x = 6.666…
3. 10x – x = 6.666… – 0.666…
4. 9x = 6
5. x = 6/9 = 2/3
このように、0.666… は 2/3 という分数で表せます。
分数から循環小数への変換
逆に、分数から循環小数に変換する方法も簡単です。例えば、1/3 を循環小数に変換する場合、単純に割り算を行えば 0.333… という循環小数が得られます。
まとめ
循環小数は、繰り返しのパターンを持つ小数です。これを分数で表すためには、適切な代数的手法を用いることで、循環部分を取り除き、簡単な分数で表すことができます。この方法を理解することで、循環小数を効率的に分数に変換できるようになります。
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