積分の解法: ∫dx/(tan^3 x sin^2 x) の途中式

積分問題に取り組む際、特に三角関数を含む式では、適切な置換や変形が必要になります。今回は「∫dx/(tan^3 x sin^2 x)」という積分を解く方法について説明します。

1. 積分の式の確認

まず、与えられた積分式「∫dx/(tan^3 x sin^2 x)」を確認しましょう。この式をそのまま積分するのは難しいため、まず三角関数の式を別の形に変換する必要があります。

tan(x) = sin(x) / cos(x) という三角関数の恒等式を利用します。これにより、tan(x) の項を sin(x) と cos(x) の組み合わせに変換できます。

したがって、積分式は次のように変形できます。

∫dx / (tan^3 x sin^2 x) = ∫dx / ((sin^3 x / cos^3 x) sin^2 x)

さらに、この式を簡略化します。sin^3(x) と sin^2(x) を組み合わせると、sin^5(x) が残ります。また、cos(x) の項が分母にあるため、cos(x) を扱いやすくするために置換を考えると良いでしょう。

積分式は次のようになります。

∫(cos^3 x) / sin^5 x dx

ここでは、積分を解くために「u = sin(x)」という置換を使います。これにより、積分式がcos(x) と sin(x) の式から、u を使った形に変換でき、計算が簡単になります。

置換後、計算を進めることで積分が解けます。

「∫dx/(tan^3 x sin^2 x)」の積分問題は、三角関数の恒等式を利用して変換し、適切な置換を行うことで解くことができます。基本的な積分法を理解し、積分式をうまく変形していくことが重要です。