x² + y² - xy - x - y + 3/4 = 0 の問題を解く方法と最小値・最大値の求め方

この問題では、与えられた等式 x² + y² – xy – x – y + 3/4 = 0 を満たす実数 x, y について、xy と x + y の最小値および最大値を求める方法を解説します。まず、問題を整理し、数学的な手法を使って解法を進めていきましょう。

与えられた問題を整理する

問題に示されているのは、以下の式です。

x² + y² – xy – x – y + 3/4 = 0

この式を整理して、どのように x と y の関係を見つけるかが鍵となります。まず、x と y の合計と積の関係に注目し、方程式を変形します。

与えられた式を次のように変形できます。

(x – y)² – (x + y) = -3/4

この式を使って、x + y や xy の値を求めることができます。次に、x + y と xy の関係を式に表し、それらの最小値と最大値を求めます。

ここでは、変数 x と y の和と積に注目します。まず x + y を u とし、xy を v とおくと、式は次のように表現できます。

u² – 2v = -3/4

これを使って、最小値と最大値を求めるための条件を考察します。u と v の範囲を制限することで、x + y と xy の値の範囲を決定することができます。

最小値と最大値を求めるためには、上記の式を解いて、u と v の値を適切に制限する必要があります。式の範囲を求めた後、それぞれの最小値と最大値を計算することができます。

この問題を解くためには、式の変形と変数の設定をうまく活用し、x + y や xy の最小値と最大値を求めることが重要です。問題を整理し、数学的な手法で進めることで、最終的な答えを得ることができます。