位相空間の基本: 集合X上の位相とその性質の証明

この問題では、集合X上の位相についての性質を示す方法を解説します。問題では、与えられた集合族 {U_λ} に基づいて、最小の位相 u を構成しています。特に、uが満たすべき性質として、空集合∅と集合Xがuに含まれること、またuの元の積が再びuの元であることを示す必要があります。

問題の整理

問題は、集合X上の位相を構成するために、各λ∈ΛについてU_λが位相であるときに、u := λ∈∩_λ∈Λ u_λ が位相であることを示すものです。ここでuは、すべてのu_λに含まれるような集合を含みます。これにより、uが位相の条件を満たすことを証明します。

1) ∅ ∈ u と X ∈ u を示す

まず、空集合∅と集合Xがuに含まれることを示す必要があります。uの定義から、uは全てのu_λに共通して含まれる集合なので、u_λが位相であれば、空集合∅と集合Xも各u_λに含まれます。したがって、uにも∅とXが含まれることが分かります。

2) U1, U2 ∈ u ならば U1 ∩ U2 ∈ u が成り立つことの証明

次に、uの元であるU1とU2の積が再びuの元になることを示します。U1, U2 ∈ u であれば、これらはそれぞれすべてのu_λに含まれるため、その積U1 ∩ U2もまたすべてのu_λに含まれることが分かります。このため、U1 ∩ U2 もuの元であるといえます。

位相の基本的な性質

このように、集合X上の位相を定義するために必要な条件が満たされることを示しました。位相における最小の集合族uが空集合∅と集合Xを含み、またuの元の積が再びuの元であることが確認できました。これにより、uが位相を形成するための基本的な条件を満たすことが分かります。

まとめ

本問題では、集合族{U_λ}から最小の位相uを構成する方法を示し、その性質として空集合と集合Xが含まれること、また積が再び位相の元となることを証明しました。このような位相空間の基本的な性質を理解することで、より複雑な位相空間の議論にも応用できます。