三角形ABCの内接円の半径が最大になる条件の証明

円Οの円周上に異なる2点A,Bがあり、弧ABを除く円周上を点Cが動きます。このとき、三角形ABCの内接円の半径が最大になるのは、AC=BCであることを示す問題です。この記事では、この問題を解決するための証明過程を解説します。

三角形ABCの内接円の半径について

三角形ABCの内接円は、三角形の各辺と接する円で、その半径は三角形の面積と各辺の長さに関連しています。内接円の半径rは、以下の式で求められます。

r = S / p

ここで、Sは三角形の面積、pは三角形の周の半分です。

AC=BCのときの三角形の性質

AC=BCであるとき、三角形ABCは二等辺三角形になります。二等辺三角形では、内接円の半径は最大化されます。この理由は、二等辺三角形において、他の三角形の辺の長さに比べて、内接円が最大の面積を囲うからです。

証明の流れ

まず、AC=BCであるとき、三角形ABCは二等辺三角形になります。このとき、三角形の周の半分pは一定の値になります。次に、三角形ABCの面積Sが最大化される点を求めます。この最大化される面積に対して、内接円の半径が最大になることを示します。具体的には、三角形の面積が最大化されるのは、AC=BCであるときです。

まとめ

三角形ABCの内接円の半径が最大になるのは、AC=BC、つまり三角形ABCが二等辺三角形であるときです。このように、三角形の性質に基づいて内接円の半径を最大化するための条件が導かれました。この証明を通じて、幾何学的な観察と計算の重要性を再確認することができます。