ユークリッドの互除法がなぜ成り立つのか？シンプルでわかりやすい説明

ユークリッドの互除法は、2つの整数の最大公約数（GCD）を求めるための方法です。これがなぜ成り立つのかを、スッと理解できるように簡単に説明します。

ユークリッドの互除法とは？

ユークリッドの互除法とは、2つの数の最大公約数（GCD）を求めるためのアルゴリズムです。具体的には、2つの数があるとき、そのうち大きい数を小さい数で割り、余りを求めます。次に、その小さい数と余りについて同じことを繰り返し、余りが0になったときの数が最大公約数です。

この方法がなぜ成り立つのか、直感的に理解するためには、まず「共通の約数」について考えてみましょう。

2つの数AとB（A > B）について、AとBの最大公約数は、AをBで割った余りとBの最大公約数と同じです。つまり、AとBの最大公約数は、Bと「A % B」の最大公約数に等しいということです。これが、余りを使ってGCDを求める基本的な理由です。

例えば、24と16の最大公約数を求める場合を考えます。

1. 24 ÷ 16 = 1 あまり 8 → 24と16の最大公約数は、16と8の最大公約数と同じ

2. 16 ÷ 8 = 2 あまり 0 → 16と8の最大公約数は8

このように、余りを使って最大公約数を求める過程が進んでいきます。

ユークリッドの互除法は、数の関係を使って効率的に最大公約数を求める方法です。余りを使う理由は、共通の約数が余りにも共通して現れるためです。この方法を使うと、大きな数でも素早く最大公約数を求めることができ、非常に実用的です。