高校数学：点(x, y, z)が球内を動くときの体積の問題の解法

高校数学の問題で、点(x, y, z)が原点中心、半径1の球の周囲および内部を動くとき、点(x + y + z, xy + yz + zx, xyz)の通過する領域の体積を求める問題があります。この問題は、座標変換と積分を用いた体積計算を求めるものです。

問題の設定

問題は、原点を中心に半径1の球の中で点(x, y, z)が動くとき、次のような新しい座標系で表された点(x + y + z, xy + yz + zx, xyz)がどの領域を通過するか、その領域の体積を求めるというものです。

まず、与えられた座標(x, y, z)が球の内外にあるため、x² + y² + z² ≤ 1という条件が成り立ちます。この条件を利用して、新しい座標系での範囲を求めます。

元々の座標(x, y, z)を新しい座標系に変換する方法として、次のように定義された座標を考えます。

これらの変換により、点(x, y, z)が球内を動くとき、その座標の変化がどのように変わるのかを数学的に解析することが重要です。特に、変換後の座標がどの範囲に収まるかを確認することが求められます。

この問題を解くために、変換後の領域がどのように広がっていくのかを調べ、体積を求める方法として積分を利用します。まず、変換後の座標系における範囲を特定した後、領域内の体積を求める積分式を設定します。

積分を使って体積を求めるには、変換後の座標系での範囲を決定し、それを基に積分を行います。積分範囲が求まれば、必要な計算を行い、体積を求めることができます。

この問題は、座標変換を行い、新しい座標系での領域を求め、その領域の体積を求めるという数学的なアプローチを必要とします。変換後の座標系における範囲をしっかりと把握した上で、積分を用いて体積を求めることが解法のカギとなります。