任意の正方行列のQR分解の証明方法

QR分解は、任意の正方行列を直交行列Qと上三角行列Rに分解する方法です。本記事では、正則行列だけでなく、正則でない行列に対するQR分解の方法を詳細に解説します。

1. QR分解の定義

QR分解とは、任意の行列Aに対して、A = QR と分解できるようにするものです。ここで、Qは直交行列、Rは上三角行列です。QR分解は、行列の特性を簡潔に表現するための強力なツールとなります。

QR分解は、任意の行列に対して存在します。特に、Aがm×nの行列であれば、QR分解は、Aの列ベクトルを直交化していく過程で得られます。正則な行列であれば、正規直交基底を作ることでQR分解が容易に求まります。

正則でない行列に対しても、QR分解は存在します。具体的には、グラム・シュミットの直交化法を使用することで、行列の列ベクトルを直交化することが可能です。

グラム・シュミット法は、行列の列ベクトルを直交化する方法です。具体的には、各列ベクトルを、直前の列ベクトルから直交化していき、直交化されたベクトルをQ行列に格納します。その後、R行列を求めることができます。

この方法では、行列が正則でなくてもQR分解が可能です。最終的に、得られるQ行列は直交行列、R行列は上三角行列となります。

例えば、ある3×3行列Aが与えられた場合、そのQR分解の計算方法について具体例を挙げて解説します。行列Aの列ベクトルを直交化し、それをQ行列に格納します。次に、AをQ行列で掛け合わせて得られるR行列を求めます。

QR分解は、正則な行列だけでなく、正則でない行列にも適用可能です。グラム・シュミット法を用いることで、任意の行列に対してQR分解を行うことができます。この分解方法は、数値計算や最適化問題において非常に重要な役割を果たします。