線形代数における一次変換と固有ベクトルの関係

線形代数における一次変換と固有ベクトルは、密接に関連しています。一次変換はベクトル空間を別のベクトル空間に変換する操作であり、固有ベクトルはその変換において、方向が変わらずにスカラー倍だけされる特別なベクトルです。この関係を理解することは、線形代数の多くの問題を解く鍵となります。この記事では、一次変換と固有ベクトルの関係を具体的な例とともに説明します。

一次変換とは？

一次変換は、あるベクトル空間から別のベクトル空間へとベクトルを写像する線形マッピングです。例えば、平面上のベクトルを回転させる、縮小する、または拡大するような操作が一次変換です。一次変換は行列で表されることが多く、その行列は変換がどのようにベクトルを変化させるかを示します。

固有ベクトルと固有値とは？

固有ベクトルは、一次変換を施しても方向が変わらない特別なベクトルです。具体的には、行列を使った一次変換を行ったときに、そのベクトルがスカラー倍されるだけで、方向が変わらないベクトルを指します。固有値は、このスカラー倍される「倍率」を示す数値です。固有ベクトルと固有値は、行列の対角化や複雑な行列計算において重要な役割を果たします。

一次変換と固有ベクトルの関係

一次変換において、固有ベクトルは変換後も元の方向を保ちながらスカラー倍されるため、変換の特徴を理解する上で非常に重要です。例えば、ある行列Aに対して、固有ベクトルvと固有値λが存在する場合、行列Aの作用は次のように表されます：
A * v = λ * v。これは、vがAによる変換後も方向が変わらず、λ倍されたことを意味します。一次変換がどのような影響をベクトルに与えるかを理解するためには、固有ベクトルと固有値を求めることが有効です。

具体的な例：回転行列と固有ベクトル

回転行列を例に取ってみましょう。2次元の回転行列は、次のように表されます：
R(θ) = [cos(θ) -sin(θ)]
[sin(θ) cos(θ)]。
この行列で、θだけ回転させる変換が行われます。この回転行列に固有ベクトルを求めると、回転によって方向が変わらないベクトルが存在しません。なぜなら、回転による変換はすべてのベクトルに対して方向を変えるからです。しかし、もしθが0°または180°であれば、固有ベクトルが存在します。このように、固有ベクトルを通じて一次変換の特徴を知ることができます。

まとめ

一次変換と固有ベクトルは、線形代数の基本的かつ重要な概念であり、変換を深く理解するために欠かせません。一次変換はベクトルを変換する操作を意味し、固有ベクトルはその変換において方向が変わらない特別なベクトルです。固有値とともに、一次変換の性質を解析するために非常に役立ちます。具体的な例として回転行列を取り上げましたが、さまざまな一次変換において固有ベクトルの概念は適用されます。固有ベクトルと固有値を理解することで、線形代数の多くの問題を効率的に解けるようになります。